Question

7．將圓C₁：x²+y²=4上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{5}$倍得到曲線C₂．
（1）寫出C₂的參數(shù)方程；
（2）已知F（-4，0），直線l的參數(shù)方程為$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=-4+\sqrt{2}t\\ y=\sqrt{2}t\end{array}\right.\end{array}$（t為參數(shù)），直線l交曲線C₂于A，B兩點(diǎn)，求|AF|+|BF|

Answer 1

分析 （1）求出曲線C₂的普通方程，即可寫出C₂的參數(shù)方程；
（2）將直線的參數(shù)方程變?yōu)?\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\end{array}\right.$（t′為參數(shù)）代入x²+5y²=20，化簡得$3t{′}^{2}-4\sqrt{2}t′-4=0$，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|AF|+|BF|．

解答 解：（1）設(shè)圓C₁上任意一點(diǎn)P（x，y），曲線C₂上任意一點(diǎn)P'（x'，y'），
則由題意得$\left\{\begin{array}{l}x'=\sqrt{5}x\\ y'=y\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{{\sqrt{5}}}x'\\ y=y'\end{array}\right.$代入C₁方程x²+y²=4，可得$\frac{{{{x'}^2}}}{20}+\frac{{{{y'}^2}}}{4}=1$，
即曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2\sqrt{5}cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$
（2）將直線的參數(shù)方程變?yōu)?\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\end{array}\right.$（t′為參數(shù)）代入x²+5y²=20，
化簡得$3t{′}^{2}-4\sqrt{2}t′-4=0$，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根為t'₁，t'₂，∴t'₁+t'₂=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，t'₁t'₂=-$\frac{4}{3}$，
則|AF|+|BF|=|t'₁-t'₂|=$\sqrt{\frac{32}{9}+4×\frac{4}{3}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程，考查參數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，屬于中檔題．