Question

12．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ為常數(shù)，A＞0，ω＞0，0＜ϕ≤π）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，最大值為2
（1）求A和ω的值；
（2）設函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)．
①求函數(shù)f（x）的解析式；
②由函數(shù)y=f（x）的圖象經過怎樣的變換可以得到函數(shù)$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的周期公式即可得解．
（2）①結合三角函數(shù)的奇偶性可求ϕ，進而可求函數(shù)解析式，②由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結論．

解答 解：（1）∵函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，最大值為2，
∴A=2，T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，即ω=3．
（2）①∵由（1）可得：f（x）=2sin（3x+ϕ），
∵函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，
∴則ϕ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{2}$+2kπ）=2cos3x，k∈Z．
②∵f（x）=2cos3x，
∴把所得圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得y=2cosx的圖象；
把所得圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，可得y=cosx的圖象；
把函數(shù)y=cosx的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個單位，可得y=sinx的圖象；
再把所得圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，可得函數(shù)$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的圖象．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性、奇偶性，屬于中檔題．