Question

19．已知函數f（x）=|x-a²-a|，不等式f（x）≥$\frac{3}{2}$的解集為{x|x≤$\frac{1}{2}$或x≥$\frac{7}{2}$}．
（1）求實數a的值；
（2）若f（x）+f（x+2）≥m²-m對任意x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，|$\frac{1}{2}$-a²-a|=$\frac{3}{2}$，|$\frac{7}{2}$-a²-a|=$\frac{3}{2}$，即可求實數a的值；
（2）運用絕對值不等式的性質，可得f（x）+f（x+2）的最小值，再由不等式恒成立思想，解二次不等式，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）由題意，|$\frac{1}{2}$-a²-a|=$\frac{3}{2}$，|$\frac{7}{2}$-a²-a|=$\frac{3}{2}$，
∴a²+a-2=0，∴a=-2或1；
（2）f（x）+f（x+2）=|x-2|+|x|≥|（x-2）-x|=2，
當且僅當0≤x≤2時，等號成立．
由恒成立思想可得，m²-m≤2，解得-1≤m≤2，
則實數m的取值范圍是[-1，2]；

點評 本題考查絕對值不等式的解法和運用，主要考查絕對值不等式的性質和不等式恒成立思想，屬于中檔題．