Question

5．設(shè)函數(shù)$f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期為π，且$f（x+\frac{π}{6}）$是偶函數(shù)，則（　　）

• A． f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}）$單調(diào)遞增
• B． f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3}{4}π）$單調(diào)遞增
• C． f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}）$單調(diào)遞減
• D． f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3}{4}π）$單調(diào)遞減

Answer 1

分析 利用三角恒等變換求出f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）和（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$）上的單調(diào)性判斷f（x）在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$）和（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）上的單調(diào)性．

解答 解：f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+Φ+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
∵f（x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$+Φ+$\frac{π}{4}$）是偶函數(shù)，
∴$\frac{π}{3}$+Φ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得Φ=-$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
又|Φ|＜$\frac{π}{2}$，∴Φ=-$\frac{π}{12}$．
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴當(dāng)x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$）時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
當(dāng)x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∵y=sinx在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$）上不單調(diào)，
∴f（x）在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）上不單調(diào)．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．