Question

13．（1）求函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+4x+1}$（0≤x≤3）的值域；
（2）已知二次函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a在區(qū)間[0，1]上有最大值2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）換元，利用二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的值域；
（2）分類討論，利用函數(shù)在區(qū)間[0，1]上有最大值2，求實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）令t=-x²+4x+1（0≤x≤3），∴t∈[1，5]，∴$y=（\frac{1}{2}）^{t}$∈[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$]，
所以f（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$]…（6分）
（2）函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x=a，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[0，1]上遞減，∴f（0）=2，1-a=2，∴a=-1； …（8分）
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[0，1]上遞增，∴f（1）=2，即a=2； …（10分）
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）在[0，a]遞增，在[a，1]上遞減，∴f（a）=2，即a²-a+1=2，解得：a=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$與0≤a≤1矛盾．
綜上：a=-1或a=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確轉(zhuǎn)化與分類是關(guān)鍵．