Question

1．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，線段BF與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A，若$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 6
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OF}$+2$\overrightarrow{OB}$），從而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)A在漸近線y=$\frac{a}$x上，能求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)點(diǎn)F（c，0），B（0，b），
由$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OF}$+2$\overrightarrow{OB}$），
∴A（$\frac{c}{3}$，$\frac{2b}{3}$），
∵點(diǎn)A在漸近線y=$\frac{a}$x上，則$\frac{2b}{3}$=$\frac{a}$•$\frac{c}{3}$，
解得e=2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查雙曲線的離心率，利用向量知識(shí)確定A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．