Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+sin（ωx+$\frac{π}{4}$）sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；        
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上的單調增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式及二倍角公式求得f（x），由函數(shù)的周期公式，即可求得ω的值；
（2）由（1）可知，利用函數(shù)的單調性，求得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，即可求得f（x）在區(qū)間（0，π）上的單調增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=sin²ωx+2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+sin（ωx+$\frac{π}{4}$）sin（ωx-$\frac{π}{4}$），
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$（cos²ωx-sin²ωx），
=$2sin（{2ωx-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$；…（5分）
由題意得$\frac{2π}{2ω}=π$，即可得ω=1…（6分）
（2）由（1）知$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$
則由函數(shù)單調遞增性可知：$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
整理得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$…（9分）
∴f（x）在（0，π）上的增區(qū)間為$（{0，\frac{π}{3}}]$，$[{\frac{5π}{6}，π}）$…（12分）

點評 本題考查正弦函數(shù)的性質，考查輔助角公式及二倍角公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．