Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ），A＞0，ω＞0，若f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上單調(diào)，且$f（{\frac{π}{2}}）=f（{\frac{2π}{3}}）=-f（{\frac{π}{6}}）$，則f（x）的最小正周期為π．

Answer 1

分析 由題意求得x=$\frac{7π}{12}$與（$\frac{π}{3}$，0）為同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心，由此求得f（x）的最小正周期．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ），A＞0，ω＞0，若f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上單調(diào)，
則$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，∴0＜ω≤3．
∵$f（{\frac{π}{2}}）=f（{\frac{2π}{3}}）=-f（{\frac{π}{6}}）$，∴x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$，為f（x）=sin（ωx+φ）的一條對稱軸，
且（$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{2}}{2}$，0）即（$\frac{π}{3}$，0）為f（x）=sin（ωx+φ）的一個對稱中心，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，解得ω=2∈（0，3]，∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
故答案為：π．

點評 本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，確定x=$\frac{7π}{12}$與（$\frac{π}{3}$，0）為同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心是關(guān)鍵，也是難點，屬于難題．