Question

4．如圖所示，Rt△ABC的頂點(diǎn)A坐標(biāo)（-2，0），直角頂點(diǎn)B（0，-2$\sqrt{2}$），頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)．
（1）求BC所在直線的方程．
（2）M為Rt△ABC外接圓的圓心，求圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，有A、B的坐標(biāo)可得k_AB，又由AB⊥BC可得k_BC，由直線的點(diǎn)斜式方程計(jì)算可得答案；
（2）由直線BC的方程可得C的坐標(biāo)，再根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)算出AC中點(diǎn)M坐標(biāo)以及圓的半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，A（-2，0），B（0，-2$\sqrt{2}$），
則k_AB=$\frac{-2\sqrt{2}-0}{0-（-2）}$=-$\sqrt{2}$，
又由B為直角頂點(diǎn)，即直線AB⊥BC，
則k_BC=$\frac{-1}{-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則BC所在直線的方程為y-（-2$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
即$x-\sqrt{2}y=4$；
（2）由（1）BC所在直線的方程$x-\sqrt{2}y=4$，
令y=0，可得x=4，即C的坐標(biāo)為（4，0），
AC的中點(diǎn)為M，故圓心M（1，0），
半徑r=$\frac{AC}{2}$=3，
∴圓M的方程是：（x-1）²+y²=9﹒

點(diǎn)評(píng) 本題在坐標(biāo)系中給出Rt△ABC，求直線BC方程，并求△ABC外接圓M方程．著重考查了直線的斜率、直線的方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，