Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠FAB=$\frac{3}{5}$，則C的離心率為（　　）

• A． $\frac{7}{5}$
• B． $\frac{5}{7}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{6}{7}$

Answer 1

分析 利用余弦定理求得丨BF丨，則AF⊥BF，根據(jù)橢圓的定義，即可求得a的值，由矩形的對(duì)角線性質(zhì)，即可求得c的值，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：在△ABF中，由余弦定理可知cos∠FAB=$\frac{丨{AF丨}^{2}+丨AB{丨}^{2}-丨FB{丨}^{2}}{2丨AF丨•丨AB丨}$=$\frac{3}{5}$，
解得：丨BF丨=8，
∴∠BFA=$\frac{π}{2}$，即AF⊥BF，
取橢圓右焦點(diǎn)F′，連接AF′，由對(duì)稱性知AF∥BF′，AF=BF′，又AF⊥BF，
丨AF丨+丨AF′丨=丨AF丨+丨BF丨=14=2a，則a=7
∴四邊形AFBF′是矩形，故丨FF′丨=丨AB丨=10，即2c=10，c=5
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理，橢圓的定義，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．