1.設(shè)正實數(shù)x,y滿足$x>\frac{1}{2},y>1$,不等式$\frac{{4{x^2}}}{y-1}+\frac{y^2}{2x-1}≥m$恒成立,則m的最大值為8.

分析 設(shè)y-1=b,2x-1=a,求出x、y的值,代入$\frac{{4x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$中化簡,利用基本不等式求出它的最小值,即可得出m的最大值.

解答 解:設(shè)y-1=b,得y=b+1,
令2x-1=a,得x=$\frac{1}{2}$(a+1),則a>0,b>0;
那么:$\frac{{4x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$=$\frac{{(a+1)}^{2}}$+$\frac{{(b+1)}^{2}}{a}$≥2•$\frac{(a+1)(b+1)}{\sqrt{ab}}$
=2•$\frac{ab+(a+b)+1}{\sqrt{ab}}$
=2•($\sqrt{ab}$+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$+$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$)≥2•(2$\sqrt{\sqrt{ab}•\frac{1}{\sqrt{ab}}}$+$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$)
=2•(2+2)=8;
當且僅當a=b=1,即x=2,y=1時取等號;
∴$\frac{{4x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$的最小值為8,
即m的最大值為8.
故答案為:8.

點評 本題考查了利用基本不等式求函數(shù)最值的問題,利用換元法轉(zhuǎn)化求解,多次使用基本不等式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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12.已知無窮數(shù)列{an}的首項為1,數(shù)列{bn}滿足${b_n}={a_{n+1}}-{a_n},n∈{N^*}$.
(1)若${b_n}={2^n}$,求數(shù)列{an}的前n項和;
(2)若bn=bn-1bn+1(n≥2),且${b_1}=1,{b_2}=b({b≠0,-1,-\frac{1}{2}})$,求證:
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10.某校食堂的原料費支出x與銷售額y(單位:萬元)之間有如下數(shù)據(jù),
x24568
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根據(jù)如表中提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法得出y對x的回歸直線方程為${\;}_{y}^{∧}$=8.5x+7.5,則表中m的值為( 。
A.60B.50C.55D.65

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18.若曲線y=$\frac{x+1}{x-1}$在點A(3,f(3))處的切線與直線x+my+2=0垂直,則實數(shù)m的值為( 。
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