Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow$=（1，cosθ），-$\frac{π}{2}$＜θ$＜\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求tanθ的值．
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow$時(shí)$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=0，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出tanθ的值；
（II）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，求出${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$的最大值，即可得出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最大值．

解答 解：（I）由題$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow$，所以$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=sinθ+cosθ=0，
從而tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-1；
（II）因$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$=（sinθ+1，1+cosθ），
所以${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=（sinθ+1）²+（1+cosθ）²
=3+2（sinθ+cosθ）
=3+2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
因?yàn)?$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$，
所以-$\frac{π}{4}$＜θ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
從而θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=3+2$\sqrt{2}$=${（1+\sqrt{2}）}^{2}$為最大值，
所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最大值是1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的運(yùn)算問題，是綜合題．