Question

8．若函數(shù)y=Asin（ωx+φ）$（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$在一個周期內的圖象如圖所示，且在$y軸上的截距為\sqrt{2}$，M，N分別是這段圖象的最高點和最低點，
則$\overrightarrow{ON}在\overrightarrow{OM}$方向上的投影為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{29}}}{29}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． -$\frac{{\sqrt{29}}}{29}$
• D． $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，由函數(shù)在y軸上的截距求出A，可得函數(shù)的解析式，再利用兩個向量數(shù)量積的定義，求出$\overrightarrow{ON}在\overrightarrow{OM}$方向上的投影．

解答 解：根據函數(shù)y=Asin（ωx+φ）$（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$在一個周期內的圖象，
可得$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=3-1，∴ω=$\frac{π}{4}$．
再根據五點法作圖可得$\frac{π}{4}$•1+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，函數(shù)的解析式為y=Asin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
由于該函數(shù)在$y軸上的截距為\sqrt{2}$，∴Asin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，∴A=2，故函數(shù)的解析式為y=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
∴M（1，2）、N（5，-2），∴$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=5-4=1．
設$\overrightarrow{ON}在\overrightarrow{OM}$方向上的投影為a，∵$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=1=a•|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{5}$a，∴a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選：B．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，由函數(shù)在y軸上的截距求出A，兩個向量數(shù)量積的定義，屬于基礎題．