Question

18．銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足：$\sqrt{3}a-2bsinA=0$
（I）求角B的大小
（II）若a+c=5，且$a＞c，b=\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2bsinA=$\sqrt{3}$a，利用正弦定理可得：2sinBsinA=$\sqrt{3}$sinA，sinA≠0，化簡整理即可得出．
（Ⅱ）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，代入化簡求出ac，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（Ⅰ）在銳角△ABC中，∵2bsinA=$\sqrt{3}$a，
∴2sinBsinA=$\sqrt{3}$sinA，sinA≠0，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴7=（a+c）²-2ac-2accos$\frac{π}{3}$，化為：ac=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

點評 本題考查了正弦定理余弦定理和三角形的面積公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．