Question

18．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足ax-（1+a²）x²＞0（a＞0）；q：實(shí)數(shù)x滿足2x²-x-1＜0．若（￢p）∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p、q為真時，x的范圍，由（￢p）∧q為真⇒p假、q真，列式求解．

解答 解：當(dāng)命題p真：不等式ax-（1+a²）x²＞0（a＞0）⇒（1+a²）x²-ax＜0⇒0＜x＜$\frac{a}{1+{a}^{2}}$；
命題q真時：2x²-x-1＜0⇒-$\frac{1}{2}$＜x＜1；
由（￢p）∧q為真⇒p假、q真⇒$\left\{\begin{array}{l}{x≤0或x≥\frac{a}{1+{a}^{2}}}\\{-\frac{1}{2}＜x＜1}\end{array}\right.$，
因為a＞0，∴$\frac{a}{1+{a}^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{a}+a}≤\frac{1}{2}$
∴$-\frac{1}{2}＜x≤0或\frac{a}{1+{a}^{2}}≤x＜1$．
實(shí)數(shù)x的取值范圍為：{x|-$\frac{1}{2}＜x≤0\\;或\frac{a}{1+{a}^{2}}≤x＜1\}$或$\frac{a}{1+{a}^{2}}≤x＜1$}

點(diǎn)評 本題考查了命題真假的應(yīng)用，及解一元二次不等式，屬于中檔題．