Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+a（x-lnx），其中e為自然對數(shù)的底．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）上有三個不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）做題轉(zhuǎn)化為e^x+ax=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有兩個不同的根，且x≠=e，令g（x）=a=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）易知，函數(shù)的定義域?yàn)閤∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（{e}^{x}+ax）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a＞0時，對于?x∈（0，+∞），e^x+ax＞0恒成立，
所以   若x＞1，f′（x）＞0，若0＜x＜1，f′（x）＜0，
所以單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（Ⅱ）由條件可知f′（x）=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）上有三個不同的根，
即e^x+ax=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有兩個不同的根，
令g（x）=a=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
x∈（$\frac{1}{2}$，1）時單調(diào)遞增，x∈（1，2）時單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=-e，g（$\frac{1}{2}$）=-2$\sqrt{e}$，g（2）=-$\frac{1}{2}$e²，
∵-2$\sqrt{e}$-（-$\frac{1}{2}$e²）＞0，
∴-2$\sqrt{e}$＜a＜-e．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．