Question

7．已知g（x）=mx，G（x）=lnx．
（Ⅰ）若G（x）+x+2≤g（x）恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅱ）令b=G（a）+a+2，求證：b-2a≤1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m-1≥$\frac{lnx+2}{x}$在（0，+∞）恒成立，令h（x）=$\frac{lnx+2}{x}$（x＞0），求出h（x）的最大值，從而求出m的范圍．
（Ⅱ）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：lna-a≤-1，令h（a）=lna-a，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性得到h（a）的最大值，從而證出答案

解答 解：（Ⅰ）G（x）+x+2≤g（x）恒成立，
即lnx+x+2≤mx在（0，+∞）恒成立，
∴m-1≥$\frac{lnx+2}{x}$在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{lnx+2}{x}$（x＞0），
∴h′（x）=-$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
令h′（x）＜0，解得：x＞e，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（$\frac{1}{e}$）=e，
∴m-1≥e，
∴m≥e+1；
證明：（Ⅱ）由b=G（a）+a+2，得：b=lna+a+2，得：b-2a=lna-a+2，
要證明：b-2a≤1，即證明：lna-a+2≤1，即證明：lna-a≤-1，
令h（a）=lna-a，則h′（a）=$\frac{1}{a}$-1=$\frac{1-a}{a}$，
令h′（a）＞0，解得：0＜a＜1，令h′（a）＜0，解得：a＞1，
∴h（a）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴h（a）_最大值=h（1）=-1，
∴b-2a≤1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題