Question

19．已知函數(shù)f（x）=2log₂（2^x+1）-x．
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)：
（2）設(shè)以g（x）=2^f（x）+x+m•2^x，x∈[0，log₂3]，是否存在實(shí)數(shù)m，使得g（x）的最小值為0，若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義證明函數(shù)的奇偶性即可；
（2）化簡(jiǎn)g（x）的解析式，令2^x=t，得到g（x）=t²+（m+2）t+1，t∈[1，3]，求出函數(shù)的對(duì)稱軸-$\frac{m+2}{2}$≤1，通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置確定函數(shù)的最大值，求出m的值即可．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域是R，
f（-x）=2log₂（2^-x+1）+x=2log₂（1+2^x）-2log₂2^x=2log₂（2^x+1）-x=f（x），
故f（x）是偶函數(shù)；
（2）g（x）=${2}^{{2log}_{2}{（2}^{x}+1）}$+m•2^x=（2^x）²+（m+2）2^x+1，
x∈[0，log₂3]時(shí)，2^x∈[1，3]，
令2^x=t，則y=g（x）=t²+（m+2）t+1，t∈[1，3]，
當(dāng)-$\frac{m+2}{2}$≤1時(shí)，y=t²+（m+2）t+1在[1，3]遞增，
t=1時(shí)，y_min=m+4=0，解得：m=-4，
1＜-$\frac{m+2}{2}$＜3時(shí)，t=$\frac{m+2}{2}$時(shí)，y_min=1-$\frac{{（m+2）}^{2}}{4}$=0，
解得：m=0或-4，與1＜-$\frac{m+2}{2}$＜3矛盾，
當(dāng)-$\frac{m+2}{2}$≥3時(shí)，t=3時(shí)，y_min=3m+16=0，
解得m=-$\frac{16}{3}$與-$\frac{m+2}{2}$≥3矛盾，
故存在滿足條件的m=-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查二次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道中檔題．