Question

9．已知函數(shù)f（x）=log_a（2+x）+log_a（2-x），a＞0且a≠1．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域并判斷其奇偶性．
（2）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得2+x＞0，2-x＞0，可得定義域，根據(jù)定義判斷其奇偶性即可．
（2）利用對數(shù)的運(yùn)算，對a進(jìn)行討論，即可求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log_a（2+x）+log_a（2-x），a＞0且a≠1．
對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-2＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|-2＜x＜2}，
∵f（-x）=log_a（2-x）+log_a（2+x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）不等式f（x）＞0，即log_a（2+x）+log_a（2-x）＞0，
可得：log_a（2+x）（2-x）＞log_a1
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，可得（2+x）（2-x）＜1，
即4-x²＜1，
∴x$＜-\sqrt{3}$或$x＞\sqrt{3}$．
∵-2＜x＜2，
∴不等式的解集為（-2，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，2）
當(dāng)a＞1時(shí)，可得（2+x）（2-x）＞1，
即4-x²＞1，
∴$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$
∵-2＜x＜2，
∴不等式的解集為（$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．注意底數(shù)a的討論．