Question

1．已知曲線C₁：x²+y²=4，點(diǎn)N是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）已知定點(diǎn)M（-3，4），動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A為曲線C₁與x軸的正半軸交點(diǎn)，將A沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{2π}{3}$得到點(diǎn)B，點(diǎn)N在曲線C₁上運(yùn)動(dòng)，若$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知向量等式變形，可得，$|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{ON}|=2$，則點(diǎn)P在以M為圓心2為半徑的圓上，由此求得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），N（2cosθ，2sinθ），由$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$可得m，n與θ的關(guān)系，求得m+n=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，然后利用輔助角公式化簡求最值．

解答 解：（1）由 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}$，
即$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{ON}$，∴$|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{ON}|=2$，
∴點(diǎn)P在以M為圓心2為半徑的圓上，
故點(diǎn)P的軌跡方程為（x+3）²+（y-4）²=4；
（2）設(shè)（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），N（2cosθ，2sinθ）．
由$\overrightarrow{ON}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，得（2cosθ，2sinθ）=m（2，0）+n（-1，$\sqrt{3}$），
得$\left\{\begin{array}{l}{2cosθ=2m-n}\\{2sinθ=\sqrt{3}n}\end{array}\right.$，整理得$\left\{\begin{array}{l}{m=cosθ+\frac{sinθ}{\sqrt{3}}}\\{n=\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}}\end{array}\right.$．
∴m+n=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（$θ+\frac{π}{6}$），θ∈[0，2π）．
故當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$時(shí)，m+n有最大值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查平面向量及其應(yīng)用，訓(xùn)練了利用輔助角公式求三角函數(shù)的最值，是中檔題．