Question

19．設a，b∈R．若直線l：ax+y-7=0在矩陣A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&\end{array}]$對應的變換作用下，得到的直線為l′：9x+y-91=0．
（1）求實數(shù)a，b的值； 
（2）求出矩陣A的特征值及對應一個的特征向量．

Answer 1

分析 （1）在直線l：ax+y-7=0上取點A（0，7），B（1，7-a），求出在矩陣A對應的變換作用下A′（0，7b），B′（3，b（7-a）-1），由題意得A′，B′在直線9x+y-91=0上，列出方程組能求出實數(shù)a，b的值分別為2，13．
（2）由A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{13}\end{array}]$，得矩陣A的特征方程為f（λ）=|λE-A|=$|\begin{array}{l}{λ-3}&{0}\\{1}&{λ-13}\end{array}|$=（λ-3）（λ-13）=0，由此能求出矩陣A的特征值及對應一個的特征向量．

解答 解：（1）在直線l：ax+y-7=0上取點A（0，7），B（1，7-a），
∵$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&\end{array}][\begin{array}{l}{7}\\{0}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}\\{7b}\end{array}]$，$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{7-a}\end{array}]=[\begin{array}{l}{3}\\{b（7-a）-1}\end{array}]$
∴A（0，7），B（1，7-a）在矩陣A對應的變換作用下A′（0，7b），B′（3，b（7-a）-1），
由題意得A′，B′在直線9x+y-91=0上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{7b-91=0}\\{27+b（7-a）-1-91=0}\end{array}\right.$，解得a=2，b=13，
∴實數(shù)a，b的值分別為2，13．
（2）由（1）得A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{13}\end{array}]$，
∴矩陣A的特征方程為：
f（λ）=|λE-A|=$|\begin{array}{l}{λ-3}&{0}\\{1}&{λ-13}\end{array}|$=（λ-3）（λ-13）=0，
解得矩陣A的特征值為λ₁=3，λ₂=13，
設λ₁=3對應的特征向量$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，則$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{13}\end{array}][\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$=$3[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，
解得x₁=10y₁，∴λ₁=3對應的一個特征向量$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{10}\\{1}\end{array}]$．
設λ₂=13對應的特征向量$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$[\begin{array}{2}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$，則$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&{13}\end{array}][\begin{array}{2}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$=$13[\begin{array}{2}{{x}_{2}}\\{{y}_{2}}\end{array}]$，
解得x₂=0，∴λ₂=13對應的一個特征向量$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$．
（特征向量答案不唯一）．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查矩陣的特征值、特征向量的求法，考查矩陣變換、矩陣的特征向量、特征值等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．