Question

20．已知函數(shù)f（x）=（ax+1-a）e^-x+（a-1），其中a≥0
（Ⅰ）討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性
（Ⅱ）若x≥0，[（a-1）x+1]e^x≤ax+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出；
（Ⅱ）原不等式轉(zhuǎn)化為（a-1）x-$\frac{ax+1}{{e}^{x}}$≤0，在x≥0時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值得關(guān)系即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（ax+1-a）e^-x+（a-1），
∴f′（x）=（2a-1-ax）e^-x，
當(dāng)0≤a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，2a-1≤0，又x＞0，
∴f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=（2a-1-ax）e^-x=0，解得x=2-$\frac{1}{a}$，
當(dāng)x∈（0，2-$\frac{1}{a}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（2-$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)0≤a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，2-$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞增，在（2-$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為（a-1）x-$\frac{ax+1}{{e}^{x}}$≤0，在x≥0時(shí)恒成立，
令g（x）=（a-1）x-$\frac{ax+1}{{e}^{x}}$，x≥0，
則g′（x）=（a-1）x+1-$\frac{ax+1}{{e}^{x}}$，x≥0，
由（Ⅰ）知，當(dāng)0≤a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
f（x）＜f（0）=0，即g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0）=0，滿足題意；
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，2-$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞增，f（x）＞f（0）=0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在[0，2-$\frac{1}{a-1}$]上單調(diào)遞增，g（x）≥g（0）=0，不滿足題意，
綜上所述a的取值范圍為[0，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，以及不等式恒成立的問題，考查了運(yùn)算能力，分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題