Question

8．如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為a_i（i=1，2，3，4），此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為h_i（i=1，2，3，4），若$\frac{a_1}{1}=\frac{a_2}{2}=\frac{a_3}{3}=\frac{a_4}{4}$=k，則h₁+2h₂+3h₃+4h₄=$\frac{2S}{k}$．類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為S_i（i=1，2，3，4），此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為H_i（i=1，2，3，4），若$\frac{S_1}{1}=\frac{S_2}{2}=\frac{S_3}{3}=\frac{S_4}{4}$=K，則H₁+2H₂+3H₃+4H₄等于（　�。�

• A． $\frac{V}{2K}$
• B． $\frac{2V}{K}$
• C． $\frac{V}{3K}$
• D． $\frac{3V}{K}$

Answer 1

分析 由$\frac{a_1}{1}=\frac{a_2}{2}=\frac{a_3}{3}=\frac{a_4}{4}$=k可得a_i=ik，P是該四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，將P與四邊形的四個(gè)定點(diǎn)連接，得四個(gè)小三角形，四個(gè)小三角形面積之和為四邊形面積，即采用分割法求面積；同理對(duì)三棱值得體積可分割為5個(gè)已知底面積和高的小棱錐求體積．

解答 解：根據(jù)三棱錐的體積公式 V=$\frac{1}{3}$Sh
得：$\frac{1}{3}$S₁h₁+$\frac{1}{3}$S₂h₂+$\frac{1}{3}$S₃h₃+$\frac{1}{3}$S₄h₄=V，
∴k（h₁+2h₂+3h₃+4h₄）=3V，
∴H₁+2H₂+3H₃+4H₄等于=$\frac{3V}{K}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三棱錐的體積計(jì)算和運(yùn)用類比思想進(jìn)行推理的能力．解題的關(guān)鍵是理解類比推理的意義，掌握類比推理的方法．平面幾何的許多結(jié)論，可以通過(guò)類比的方法，得到立體幾何中相應(yīng)的結(jié)論．當(dāng)然，類比得到的結(jié)論是否正確，則是需要通過(guò)證明才能加以肯定的．