Question

11．如圖，F(xiàn)為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，經(jīng)過F點作傾斜角為銳角的直線l，與準線及拋物線的交點自下至上依次為P，A，B，且$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{AF}$．
（Ⅰ）求直線l的斜率；
（Ⅱ）若M為拋物線弧AOB（不含端點）上的一個動點，當△MAB的面積的最大值為$\sqrt{3}$時，求p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線的定義，結合題意求出直線l的傾斜角和斜率；
（Ⅱ）寫出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得關于x的方程，利用拋物線的定義求出AB，再求出M到直線l的距離d，計算△MAB的面積最大值，從而求出p的值．

解答 解：（Ⅰ）如圖所示，
過A作AN垂直準線l，垂足為N，
由拋物線的定義可得AF=AN，
∵$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{AF}$．∴PA=2AN，
∴∠PAN=60°，
∴直線l的斜率為tan60°=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），與拋物線方程聯(lián)立，
得$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y，得3x²-5px+$\frac{{3p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$，
∴AB=AF+BF=x₁+x₂+p=$\frac{8p}{3}$；
設M（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2p}$，y₀），直線l：$\sqrt{3}$x-y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p=0，
則M到直線l的距離為
d=$\frac{|\frac{{{\sqrt{3}y}_{0}}^{2}}{2p}{-y}_{0}-\frac{\sqrt{3}}{2}p|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$×|$\frac{\sqrt{3}}{2p}$${{y}_{0}}^{2}$-y₀-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p|，
△MAB的面積為
S_△MAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{8p}{3}$×$\frac{1}{2}$×|$\frac{\sqrt{3}}{2p}$${{y}_{0}}^{2}$-y₀-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p|
=$\frac{1}{3}$×|$\sqrt{3}$${{y}_{0}}^{2}$-2py₀-$\sqrt{3}$p²|
=$\frac{1}{3}$×|$\sqrt{3}$${{（y}_{0}-\frac{1}{\sqrt{3}}p）}^{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$p²|，
當y₀=$\frac{1}{\sqrt{3}}$p時，△MAB取得最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{9}$p²=$\sqrt{3}$，
解得p=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了拋物線的定義與應用問題，也考查了三角形面積的計算問題，是綜合題．