Question

1．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（2，2），并且直線m：3x-2y=0平分圓C．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+2與圓C交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）線段AB的中點(diǎn)E$（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，k_AB=-1，可得線段AB的中垂線方程．因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，故圓心在線段AB的中垂線上．又因?yàn)橹本�m：3x-2y=0平分圓C，所以直線m經(jīng)過(guò)圓心．聯(lián)立解得圓心C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間距離公式可得圓的半徑r，即可得出圓的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），將y=kx+2代入方程圓的方程，可得（1+k²）x²-（2k+4）x+4=0，△＞0，得k的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$，代入$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6．解出k即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）線段AB的中點(diǎn)E$（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，k_AB=$\frac{3-2}{1-2}$=-1，
故線段AB的中垂線方程為y-$\frac{5}{2}$=$x-\frac{3}{2}$，即x-y+1=0．…（1分）
因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，故圓心在線段AB的中垂線上．
又因?yàn)橹本�m：3x-2y=0平分圓C，所以直線m經(jīng)過(guò)圓心．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x-2y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即圓心的坐標(biāo)為C（2，3），…（3分）
而圓的半徑r=|BC|=$\sqrt{（2-2）^{2}+（2-3）^{2}}$=1，…（4分）
所以圓C的方程為：（x-2）²+（y-3）²=1．…（5分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將y=kx+2代入方程圓的方程，即（1+k²）x²-（2k+4）x+4=0，（*）．
由△=（2k+4）²-16（1+k²）＞0，得$0＜k＜\frac{4}{3}$，
∴x₁+x₂=$\frac{2k+4}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，…（7分）
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=6，
∴（1+k²）$\frac{4}{1+{k}^{2}}$+2k$•\frac{2k+4}{1+{k}^{2}}$+4=6，
即3k²+4k+1=0，
解得k=-1，或k=-$\frac{1}{3}$．…（10分）
此時(shí)不滿足△＞0，與直線l與C于M，N兩點(diǎn)相矛盾，
所以不存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相交關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、中垂線的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．