1.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3),B(2,2),并且直線m:3x-2y=0平分圓C.
(1)求圓C的方程;
(2)若直線l:y=kx+2與圓C交于M,N兩點(diǎn),是否存在直線l,使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)線段AB的中點(diǎn)E$(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$,kAB=-1,可得線段AB的中垂線方程.因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),故圓心在線段AB的中垂線上.又因?yàn)橹本m:3x-2y=0平分圓C,所以直線m經(jīng)過(guò)圓心.聯(lián)立解得圓心C的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)之間距離公式可得圓的半徑r,即可得出圓的方程.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),將y=kx+2代入方程圓的方程,可得(1+k2)x2-(2k+4)x+4=0,△>0,得k的取值范圍,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$,代入$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6.解出k即可判斷出結(jié)論.

解答 解:(1)線段AB的中點(diǎn)E$(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$,kAB=$\frac{3-2}{1-2}$=-1,
故線段AB的中垂線方程為y-$\frac{5}{2}$=$x-\frac{3}{2}$,即x-y+1=0.…(1分)
因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),故圓心在線段AB的中垂線上.
又因?yàn)橹本m:3x-2y=0平分圓C,所以直線m經(jīng)過(guò)圓心.
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x-2y=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$,
即圓心的坐標(biāo)為C(2,3),…(3分)
而圓的半徑r=|BC|=$\sqrt{(2-2)^{2}+(2-3)^{2}}$=1,…(4分)
所以圓C的方程為:(x-2)2+(y-3)2=1.…(5分)
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
將y=kx+2代入方程圓的方程,即(1+k2)x2-(2k+4)x+4=0,(*).
由△=(2k+4)2-16(1+k2)>0,得$0<k<\frac{4}{3}$,
∴x1+x2=$\frac{2k+4}{1+{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$,…(7分)
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=6,
∴(1+k2)$\frac{4}{1+{k}^{2}}$+2k$•\frac{2k+4}{1+{k}^{2}}$+4=6,
即3k2+4k+1=0,
解得k=-1,或k=-$\frac{1}{3}$.…(10分)
此時(shí)不滿足△>0,與直線l與C于M,N兩點(diǎn)相矛盾,
所以不存在直線l,使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=6.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相交關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、中垂線的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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