Question

3．已知：f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）且f（x）在區(qū)間[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上單調(diào)遞減，對任意的x₁，x₂∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值為4．
（1）求ω和φ的值；
（2）若α，β∈[0，$\frac{2π}{3}$]且f（α）=f（β）=1，求cos$\frac{α+β}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可求f（$\frac{5π}{12}$）=2，f（$\frac{11π}{12}$）=-2．進而求得周期T，利用周期公式可求ω，由f（$\frac{5π}{12}$）=2，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ的值．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），可求2α-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，π]，2β-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，π]，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)由f（α）=f（β）=1，可得：$\frac{α+β}{2}$=$\frac{π}{2}$，即可計算得解cos$\frac{α+β}{2}$的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）且f（x）在區(qū)間[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上單調(diào)遞減，對任意的x₁，x₂∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值為4．
則f（$\frac{5π}{12}$）=2，f（$\frac{11π}{12}$）=-2．
則T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，可得：ω=2，
所以，f（$\frac{5π}{12}$）=2sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=2，解得：2×$\frac{5π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又因為：|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以，φ=-$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
因為，α，β∈[0，$\frac{2π}{3}$]，可得，2α-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，π]，2β-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，π]，
由f（α）=f（β）=1，可得：$\frac{α+β}{2}$=$\frac{π}{2}$，
所以，cos$\frac{α+β}{2}$=cos$\frac{π}{2}$=0．

點評 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．