Question

12．已知y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對于任意的x∈R，均有f（x）=f（2-x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=（x-1）²，則函數(shù)g（x）=f（x）-log₂₀₁₇|x-1|的所有零點(diǎn)之和為2016．

Answer 1

分析 由題意可求得函數(shù)是一個周期函數(shù)，且周期為2，故可以研究出一個周期上的函數(shù)圖象，再研究所給的區(qū)間包含了幾個周期即可知道函數(shù)g（x）=f（x）-log₂₀₁₇|x-1|的所有零點(diǎn)之和．

解答 解：由題意可得函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），
故可得f（-x）=f（2-x），即f（x）=f（x-2），即函數(shù)的周期是2，
y=log₂₀₁₇|x-1|在（1，+∞）上單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x=2018時，log₂₀₁₇|x-1|=1，
∴當(dāng)x＞2018時，y=log₂₀₁₇|x-1|＞1，此時與函數(shù)y=f（x）無交點(diǎn)．
根據(jù)周期性，利用y=log₅|x-1|的圖象和 f（x）的圖象都關(guān)于直線x=1對稱，則函數(shù)g（x）=f（x）-log₂₀₁₇|x-1|的所有零點(diǎn)之和為-2015-2013-…-3-1+3+5…+2017=2016，
故答案為：2016．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，求解本題，關(guān)鍵是研究出函數(shù)f（x）性質(zhì)．