Question

12．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$，（t為參數(shù)，0＜α＜π），曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)α=$\frac{π}{3}$，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcos α-1=0，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：（1）由ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，得ρ²sin²θ=2ρcos θ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2x．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcos α-1=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則t₁+t₂=$\frac{2cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁•t₂=-$\frac{1}{sin2α}$，
所以|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{4co{s}^{2}α}{si{n}^{4}α}+\frac{4}{si{n}^{2}α}}$=$\frac{2}{si{n}^{2}α}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．