Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x-2）e^x+ax（a∈R）
（1）試確定函數(shù)f（x）的零點個數(shù)；
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，當(dāng)x₁+x₂≤2時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）做出y=（2-x）e^x和y=ax的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)判斷；
（2）分別用x₁，x₂表示出a，得出a²關(guān)于x₁，x₂的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)化簡得出a²的范圍，從而得出a的范圍．

解答 解：（1）由f（x）=（x-2）e^x+ax=0得ax=（2-x）e^x，
令g（x）=（2-x）e^x，則g′（x）=-e^x+（2-x）e^x=（1-x）e^x，
∴當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，當(dāng)x＜1時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）有最大值g（1）=e，
又當(dāng)x＜1時，g（x）=（2-x）e^x＞0，g（2）=0；
作出y=g（x）與y=ax的函數(shù)圖象如圖所示：

∴當(dāng)a≥0時，y=ax與g（x）只有一個公共點，從而函數(shù)f（x）有一個零點；
當(dāng)a＜0時，y=ax與g（x）有兩個公共點，從而函數(shù)f（x）有兩個零點．
（II）設(shè)x₁＜x₂，由（I）知a＜0且x₁＜0，x₂＞2，
由f（x₁）=（x₁-2）e${\;}^{{x}_{1}}$+ax₁=0，得a=$\frac{（2-{x}_{1}）{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{1}}$（x₁＜0），
由f（x₂）=（x₂-2）e${\;}^{{x}_{2}}$+ax₂=0，得a=$\frac{（2-{x}_{2}）{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$（x₂＞2）．
∴a²=$\frac{[{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁+x₂≤2，∴4-2（x₁+x₂）≥0，0＜e${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≤e²，（當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂=2時取等號）
∴4-2（x₁+x₂）+x₁x₂≥x₁x₂，又x₁x₂＜0，
∴$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{{x}_{1}{x}_{2}}$≤1，
∴a²≤e${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≤e²，
又a＜0，∴-e≤a＜0．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．