Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），且對于任意x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，若f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，2f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜1，則x的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別判斷函數(shù)是偶函數(shù)，以及函數(shù)在[0，+∞）上是減函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進行等價轉(zhuǎn)化進行求解即可．

解答 解：由f（-x）=f（x），得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
若對于任意x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，則此時函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
若f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，2f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜1，
則f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜$\frac{1}{2}$，
即不等式等價為f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜f（-$\frac{1}{3}$），
即f（|log${\;}_{\frac{1}{8}}$x|）＜f（$\frac{1}{3}$），
則log${\;}_{\frac{1}{8}}$x＞$\frac{1}{3}$或log${\;}_{\frac{1}{8}}$x＜-$\frac{1}{3}$，
得0＜x＜（$\frac{1}{8}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$或x＞（$\frac{1}{8}$）^-${\;}^{\frac{1}{3}}$=2，
即x的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞），
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．