Question

14．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為兩個(gè)非零向量，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）$⊥\overrightarrow$．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角
（Ⅱ）求|3$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）$⊥\overrightarrow$，可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=0，展開(kāi)即可求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（Ⅱ）直接由$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{|}^{2}=（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}$展開(kāi)求解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
由|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）$⊥\overrightarrow$，
得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ+|\overrightarrow{|}^{2}=0$，
∴2×1×cosθ+1=0，得cosθ=$-\frac{1}{2}$，則θ=120°；
（Ⅱ）∵$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{|}^{2}=（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}=9|\overrightarrow{a}{|}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4|\overrightarrow{|}^{2}$
=$9×4-12×2×2×（-\frac{1}{2}）+4×1$=64，
∴|3$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow$|=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量模的求法，是中檔題．