Question

19．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）滿足f′（x）＞2x恒成立，則不等式f（4-x）＜f（x）-8x+16的解集為（2，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x²，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為4-x＞x，求出x的范圍即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-x²，
則g′（x）=f′（x）-2x＞0，
g（x）在R遞增，
由f（4-x）＜f（x）-8x+16，
g（4-x）=f（4-x）-（4-x）²=f（4-x）+8x-x²-16，
∴f（4-x）=g（4-x）+x²+16-8x，g（x）+x²=f（x），
∴g（4-x）+x²+16-8x＜g（x）+x²-8x+16
得g（4-x）＜g（x），
故4-x＜x，解得：x＞2，
給答案為：（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．