Question

16．已知函數(shù)f（x）=x（1+|x|），設(shè)關(guān)于x的不等式f（x²+1）＞f（ax）的解集為A，若$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]⊆A$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-2，2）
• B． $（-\frac{5}{2}，\frac{5}{2}）$
• C． $（-\frac{5}{2}，-1）∪（1，\frac{5}{2}）$
• D． $（-∞，-\frac{5}{2}）∪（\frac{5}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{x}^{2}，x≥0}\\{xx-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，進(jìn)而分析可得函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則可以將f（x²+1）＞f（ax）轉(zhuǎn)化為x²+1＞ax，即不等式x²+1＞ax的解集為A，結(jié)合題意可得$\left\{\begin{array}{l}{（-\frac{1}{2}）^{2}+1＞（-\frac{1}{2}）×a}\\{（\frac{1}{2}）^{2}+1＞（\frac{1}{2}）×a}\end{array}\right.$，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）=x（1+|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{x}^{2}，x≥0}\\{xx-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
分析可得：函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
若f（x²+1）＞f（ax）的解集為A，則不等式x²+1＞ax的解集為A，
又由$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]⊆A$，
則有$\left\{\begin{array}{l}{（-\frac{1}{2}）^{2}+1＞（-\frac{1}{2}）×a}\\{（\frac{1}{2}）^{2}+1＞（\frac{1}{2}）×a}\end{array}\right.$，
解可得-$\frac{5}{2}$＜a＜$\frac{5}{2}$，
即a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵要將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再分析函數(shù)的單調(diào)性．