Question

17．已知函數(shù)g（x）=-$\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的對稱圖象為函數(shù)y=f（x）的圖象．
（1）求y=f（x）；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明y=f（x）在（一1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任一點(diǎn)（x，y），相應(yīng)y=g（x）圖象上一點(diǎn)為（m，n），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和代入法，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）由單調(diào)性的定義，注意設(shè)自變量和作差、變形和定符號、下結(jié)論等步驟．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=-$\frac{1}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對稱，
設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任一點(diǎn)（x，y），相應(yīng)y=g（x）圖象上一點(diǎn)為（m，n），
可得x+m=-1，y+n=1，
即為m=-1-x，n=1-y，
代入g（x）=-$\frac{1}{x}$，可得1-y=-$\frac{1}{-1-x}$，
化為y=f（x）=$\frac{x}{x+1}$；
（2）證明：令x₁＞x₂＞-1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
由x₁＞x₂＞-1，
可得x₁-x₂＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
可得y=f（x）在（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的對稱性和應(yīng)用：求函數(shù)的解析式，考查單調(diào)性的證明，注意運(yùn)用定義法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．