Question

13．a(chǎn)、b、c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，則$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的值（　�。�

• A． 一定是負(fù)數(shù)
• B． 一定是正數(shù)
• C． 可能是0
• D． 正負(fù)不能確定

Answer 1

分析 因?yàn)閍+b+c=0，abc（乘積）是正數(shù)，則這三個(gè)數(shù)中只能有一個(gè)正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．把a(bǔ)+b+c=0變形代入代數(shù)式，運(yùn)用柯西不等式即可判斷．

解答 解：∵a+b+c=0，abc＞0，
∴a，b，c中只能有一個(gè)正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)，
不妨設(shè)a＞0，b＜0，c＜0．
由a+b+c=0得a=-（b+c）代入得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=-$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$，
∵[（-b）+（-c）]（-$\frac{1}$+$\frac{1}{-c}$）≥4，
∴$\frac{1}{-b}$+$\frac{1}{-c}$≥$\frac{4}{-b-c}$，即$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≤$\frac{4}{b+c}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$≤$\frac{4}{b+c}$-$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{b+c}$＜0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查柯西不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由條件正確判斷a，b，c的符號(hào)．