Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有無(wú)零點(diǎn)即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
由f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
a≤0時(shí)，在（0，+∞）內(nèi)，f′（x）＞0恒成立，
綜上，a＞0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞））遞增；
（2）a≤0時(shí)，由（1）得f（x）在（0，+∞）遞增，
∵f（1）=0，∴此時(shí)函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
0＜$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{e}$即a≥e時(shí)，由（1）知f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上遞減，
∵f（1）=0，得：a≥e時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
$\frac{1}{a}$≥e即0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]遞增，
函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{a}$＜e即$\frac{1}{e}$＜a＜e時(shí)，f（x）在[$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，e]遞減，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{a}）＞0}\\{f（e）＜0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{e-1}$＜a＜e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算的能力．