Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{ax}+3，x＞0}\\{\frac{2}{3}{x}^{3}+{x}^{2}+4，x≤0}\end{array}\right.$在[-3，3]上的最大值為$\frac{13}{3}$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{1}{3}$ln$\frac{4}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$ln$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$ln$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=ae^ax，求出f（x）在（0，3]上的最大值為e^3a+3；當(dāng)x≤0時(shí)，由f′（x）=2x²+2x=0，得x=0或x=-1，求出f（x）在[-3，0]上的最大值為$\frac{13}{3}$．由此利用函數(shù)f（x）在[-3，3]上的最大值為$\frac{13}{3}$，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^ax+3，f′（x）=ae^ax，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）是增函數(shù)，
f（x）在（0，3]上的最大值f（3）=e^3a+3，
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
f（x）在（0，3]上無(wú)最大值，
∴f（x）在（0，3]上的最大值為e^3a+3．
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}+{x}^{2}+4$，
f′（x）=2x²+2x，
由f′（x）=2x²+2x=0，得x=0或x=-1，
∵x=0∈[-3，0]，x=-1∈[-3，0]，
f（-3）=$\frac{2}{3}×（-3）^{3}+（-3）^{2}+4$=-5，
f（-1）=$\frac{2}{3}×（-1）^{3}+（-1）^{2}+4$=$\frac{13}{3}$，
∴f（x）在[-3，0]上的最大值為$\frac{13}{3}$．
∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{ax}+3，x＞0}\\{\frac{2}{3}{x}^{3}+{x}^{2}+4，x≤0}\end{array}\right.$在[-3，3]上的最大值為$\frac{13}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{{e}^{3a}+3≤\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，解得0≤a≤$\frac{1}{3}ln\frac{4}{3}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{1}{3}ln\frac{4}{3}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．