Question

7．已知圓C的一條直徑的兩個端點的坐標為O（0，0），D（0，-2）．
（1）過點P（1，-3）作圓C的兩條切線，這兩條切線分別與x軸交于A、B兩點，求|AB|；
（2）點Q為直線x+y一m=0（m＞0）上一動點，且圓C上一點到此直線的最短距離為4$\sqrt{2}$-1，求$\overrightarrow{QO}$•$\overrightarrow{QD}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圓的方程、兩條切線方程，可得A，B的橫坐標，即可得出結論．
（2）可得圓心C（0，-1）到直線x+y-m=0（m＞0）的距離為4$\sqrt{2}$，
即$\frac{|0-1-m|}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，解得m=7，設Q（x，7-x），則$\overrightarrow{QO}=（-x，x-7）$，$\overrightarrow{QD}=（-x，-9+x）$，
即可求得$\overrightarrow{QO}$•$\overrightarrow{QD}$的最小值．

解答 解：（1）已知圓C的一條直徑的兩個端點的坐標為O（0，0），D（0，-2）．
∴圓C的圓心為C（0，-1），半徑為1，
∴圓C：x²+y²+2x=0
切線斜率不存在時，直線方程為x=1，滿足題意；
切線斜率存在時，設直線方程為y+3=k（x-1），即kx-y-k-3=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{3}{4}$，
切線方程為3x+4y+9=0，令y=0，可得x=-3，
∴|AB|=3+1=4．
 （2）∵點Q為直線x+y-m=0（m＞0）上一動點，且圓C上一點到此直線的最短距離為4$\sqrt{2}$-1．
∴圓心C（0，-1）到直線x+y-m=0（m＞0）的距離為4$\sqrt{2}$，
即$\frac{|0-1-m|}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，∴m=-9或7
∵m＞0，∴m=7，
∴設Q（x，7-x），則$\overrightarrow{QO}=（-x，x-7）$，$\overrightarrow{QD}=（-x，-9+x）$
∴$\overrightarrow{QO}•\overrightarrow{QD}$=x²+（7-x）（9-x）=2x²-16x+63=2（x-4）²+31≥31．
即當Q（4，3）時，$\overrightarrow{QO}$•$\overrightarrow{QD}$的最小值為31．

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．