Question

8．定積分${∫}_{0}^{-1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x）dx的值為$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)定積分的幾何意義計算${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，利用微積分基本定理計算${∫}_{0}^{1}$xdx，然后相加即可．

解答 解：根據(jù)定積分的幾何意義可知${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以1為半徑的圓面積的$\frac{1}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
又${∫}_{0}^{1}$xdx=$\frac{{x}^{2}}{2}$|$\left.\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}\right.$=$\frac{1}{2}$，
∴${∫}_{0}^{-1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x）dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{1}$xdx=$\frac{π}{4}+\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{4}+\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了定積分的幾何意義，微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題．