Question

13．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂•a₈=115，S₉=126，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${T_n}={2^{n+1}}-2（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為M_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)前n項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能出a_n=3n-1；利用$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{T}_{n}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由${a}_{n}_{n}=（3n-1）•{2}^{n}$，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）∵公差為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂•a₈=115，S₉=126，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}•{a}_{8}=115}\\{{S}_{9}=\frac{9}{2}（{a}_{2}+{a}_{8}）=126}\end{array}\right.$，
又公差為正數(shù)，解得a₂=5，a₈=23，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{{a}_{1}+7d=23}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=3，∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1，---（3分）
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${T_n}={2^{n+1}}-2（n∈{N^*}）$．
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=T₁=2，---（4分）
當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，$_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n+1}-2-（{2}^{n}-2）={2}^{n}$，
n=1時(shí)，上式成立，
∴$_{n}={2}^{n}$，（n∈N^*）．---（6分）
（Ⅱ）∵${a}_{n}_{n}=（3n-1）•{2}^{n}$，
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為：
M_n=2×2+5×2²+…+（3n-1）×2ⁿ，①
2M_n=2×2²+5×2³+…+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②
②-①，得：
M_n=（3n-1）×2ⁿ⁺¹-4-3（2²+2³+…+2ⁿ）
=（3n-1）×2ⁿ⁺¹-4-3×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$
=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．---（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法等等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．