Question

8．已知圓M過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（4，2），且圓心在直線(xiàn)y=x-3上．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)（-4，1）的直線(xiàn)l與圓M相切，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），直線(xiàn)AB的斜率k_AB=-$\frac{1}{3}$，從而得到AB的中垂線(xiàn)方程為y=3x-5，再由圓心M在直線(xiàn)y=x-3上，聯(lián)立方程組，求出圓心M，從而求出r=|MA|，由此能求出圓M的方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)l的方程為x=-4時(shí)，符合條件，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為kx-y+4k+1=0，則圓心M到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|5k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，求出k，由此能求出直線(xiàn)l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵圓M過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（4，2），
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），直線(xiàn)AB的斜率k_AB=$\frac{3-2}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
∴AB的中垂線(xiàn)方程為y-$\frac{5}{2}$=3（x-$\frac{5}{2}$），即y=3x-5，
∵圓心M在直線(xiàn)y=x-3上．∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-5}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，得M（1，-2），
∴r=|MA|=$\sqrt{（1-1）^{2}+（3+2）^{2}}$=5，
∴圓M的方程為（x-1）²+（y+2）²=25．
（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)l的方程為x=-4時(shí)，符合條件，
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y-1=k（x+4），即kx-y+4k+1=0，
圓心M到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|5k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解得k=$\frac{8}{15}$，
∴y=$\frac{8}{15}x+\frac{47}{15}$，
綜上，直線(xiàn)l的方程為x=-4或y=$\frac{8}{15}x+\frac{47}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查直線(xiàn)方程的求法，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、直線(xiàn)方程、圓、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)一直線(xiàn)的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．