Question

10．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=4，AA₁=a．棱BB₁的中點(diǎn)為E，棱B₁C₁的中點(diǎn)為F，平面AEF與平面AA₁C₁C的交線與AA₁所成角的正切值為$\frac{2}{3}$，則三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半徑為$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求解直角三角形求出a，然后補(bǔ)形可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半徑．

解答 解：如圖，連接EF并延長(zhǎng)交CC₁ 的延長(zhǎng)線于G，
連接AG，在平面ACC₁ 內(nèi)過G作GH交AA₁ 的延長(zhǎng)線于H，
則AH=$\frac{3}{2}a$，GH=AC=4，
∴$tan∠GAH=\frac{GH}{AH}=\frac{4}{\frac{3}{2}a}=\frac{2}{3}$，得a=4．
把原直三棱柱補(bǔ)形為正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為4．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{3}$．
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積與表面積，考查空間想象能力和思維能力，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．