Question

13．設向量$\overrightarrow a=（sinx，\frac{{\sqrt{3}}}{2}（sinx-cosx））$，$\overrightarrow b=（cosx，sinx+cosx）$，x∈R，記函數$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若$f（A）=\frac{1}{2}$，$a=\sqrt{2}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量數量積的運算，三角函數恒等變換的應用化簡可求f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）由已知可求sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，結合△ABC為銳角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2+$\sqrt{2}$，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$=sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（sinx-cosx）（sinx+cosx）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），…3分
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z…5分
（2）∵$f（A）=\frac{1}{2}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，結合△ABC為銳角三角形，可得：2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，…7分
∵在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：2=b²+c²-$\sqrt{2}$bc≥（2-$\sqrt{2}$）bc，（當且僅當b=c時等號成立）
∴bc≤$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$，
又∵sinA=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…10分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$（2+$\sqrt{2}$）=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，（當且僅當b=c時等號成立）
∴△ABC面積的最大值為$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$…12分

點評 本題考查了向量的內積運算，三角函數的化簡及性質的探討，并與解三角形知識相互交匯，對基本運算能力、邏輯推理能力有一定要求，難度為中等．