Question

13．已知F₁、F₂是某等軸雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該雙曲線上一點(diǎn)，若PF₁⊥PF₂，則以F₁、F₂為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P的橢圓的離心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=1，可得焦距，因?yàn)镻F₁⊥PF₂，所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．再結(jié)合雙曲線的定義，得到||PF₁|-|PF₂||=2，最后聯(lián)解、配方，可得（|PF₁|+|PF₂|）²=12，從而得到|PF₁|+|PF₂|的值，即可求出以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且經(jīng)過P的橢圓的離心率．

解答 解：由題意可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=1，
∴a²=b²=1，c²=a²+b²=2，
可得|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=8，
又∵P為雙曲線x²-y²=1上一點(diǎn)，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a=2，
∴（|PF₁|-|PF₂|）²=4，
因此（|PF₁|+|PF₂|）²=2（|PF₁|²+|PF₂|²）-（|PF₁|-|PF₂|）²=12
∴|PF₁|+|PF₂|的值為2$\sqrt{3}$，
∴以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且經(jīng)過P的橢圓的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用定義法和離心率公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．