Question

4．若橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{m}=1$與直線x+2y-2=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，3）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可知：將直線代入橢圓方程，由$\left\{\begin{array}{l}{m≠3}\\{m＞0}\\{△＞0}\end{array}\right.$，即可求得m的取值范圍．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{m}=1$與直線x+2y-2=0聯(lián)立，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\\{x+2y-2=0}\end{array}\right.$，
消去x，并整理得（3+4m）y²-8my+m=0．
根據(jù)條件橢圓與直線x+2y-2=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≠3}\\{m＞0}\\{△=64{m}^{2}-4m（4m+3）＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{4}$＜m＜3，或m＞3．
∴m的取值范圍（$\frac{1}{4}$，3）∪（3，+∞），
故答案為：（$\frac{1}{4}$，3）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．