Question

3．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，現(xiàn)從該幾何體的實心外接球中挖去該幾何體，則剩余幾何體的體積是（　�。�

• A． $\frac{9π}{4}$-$\frac{1}{6}$
• B． $\frac{9π}{16}$-$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{9π}{16}$-$\frac{1}{6}$
• D． $\frac{9π}{8}$-$\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 由題意，確定幾何體為三棱錐，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則r²=（1-r）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，求出r，即可求出三棱錐外接球的體積以及三棱錐的體積，然后求差即可．

解答 解：由題意，幾何體是三棱錐的一個側(cè)面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，頂點在底面中的射影是底面斜邊的中點，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則r²=（1-r）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴r=$\frac{3}{4}$，
∴三棱錐外接球的體積為$\frac{9}{16}$π；又三棱錐的體積$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{6}$，
所以從該幾何體的實心外接球中挖去該幾何體，則剩余幾何體的體積是$\frac{9π}{16}-\frac{1}{6}$；
故選C．

點評 本題考查球和幾何體之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是確定三棱錐外接球的半徑，從而得到外接球的表面積