Question

13．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+a_n=1，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b₁+b₂=b₃=3．
（1）求S_n；
（2）求數(shù)列（a_nb_n）的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的遞推式，結合等比數(shù)列的定義和通項公式，可得a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N*，即可得到所求S_n；
（2）求得b₁=d=1，則b_n=1+n-1=n，n∈N*；則a_nb_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+a_n=1，①
當n=1時，有a₁=S₁，可得2a₁=1，即a₁=$\frac{1}{2}$；
當n≥2時，S_n-1+a_n-1=1，②
①-②可得S_n-S_n-1+a_n-a_n-1=0，
2a_n=a_n-1，可得{a_n}為首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
即有a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N*，
數(shù)列{b_n}為公差為d的等差數(shù)列，且b₁+b₂=b₃=3，
可得2b₁+d=b₁+2d=3，
解得b₁=d=1，
則b_n=1+n-1=n，n∈N*；
（2）a_nb_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n項和T_n=1•（$\frac{1}{2}$）+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
上面兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得，T_n=2-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．