Question

19．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且過(guò)點(diǎn)$P（1，-\frac{3}{2}）$，離心率是$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)P作圓O：x²+y²=3的切線l₁，l₂，設(shè)直線OP，l₁，l₂的斜率分別是k₀，k₁，k₂，試問(wèn)在三個(gè)斜率都存在且不為0的條件下，$\frac{1}{k_0}（\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}）$是否是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓方程，利用已知條件列出方程組，求出a，b，即可得到橢圓方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），過(guò)P的斜率為k的直線為y-y₀=k（x-x₀），利用直線與圓O相切推出$（{x_0}^2-3）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-3=0$，通過(guò)韋達(dá)定理得到$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{{2{x_0}{y_0}}}{{{y_0}^2-3}}$，代入${y_0}^2-3=-\frac{3}{4}{x_0}^2$，推出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
（2）設(shè)P（x₀，y₀），過(guò)P的斜率為k的直線為y-y₀=k（x-x₀），
由直線與圓O相切可得下，$\frac{{|y-k{x_0}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{3}$，即：$（{x_0}^2-3）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-3=0$，
由已知可知k₁，k₂是方程$（{x_0}^2-3）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-3=0$的兩個(gè)根，
所以由韋達(dá)定理：k₁+k₂=$\frac{{2{x_0}{y_0}}}{{{x_0}^2-3}}$，k₁k₂=$\frac{{{y_0}^2-3}}{{{x_0}^2-3}}$，
兩式相除：$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{{2{x_0}{y_0}}}{{{y_0}^2-3}}$，
又因?yàn)?{y_0}^2-3=-\frac{3}{4}{x_0}^2$，
代入上式可得，$\frac{1}{k_0}（\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}）=-\frac{8}{3}$為一個(gè)定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法在下雨圓的位置關(guān)系以及橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．