Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$a=3，c=\sqrt{2}，B=\frac{π}{4}$．
（1）求b；
（2）求sin2C．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理能求出b．
（2）由正弦定理得sinC=$\frac{c•sinB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由c＜b，得cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由此能求出sin2C．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
$a=3，c=\sqrt{2}，B=\frac{π}{4}$，
∴由余弦定理得：
b²=a²+c²-2accosB，
=（$\sqrt{2}$）²+3²-2×$\sqrt{2}$×$3×\frac{\sqrt{2}}{2}$=5，
∴b=$\sqrt{5}$．
（2）由正弦定理得：$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}$，
∴sinC=$\frac{c•sinB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵c＜b，∴cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin2C=2sinCcosC=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的邊長(zhǎng)的求法，考查三角形的內(nèi)角的二倍的正弦值的求法，考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．