Question

12．已知函數(shù)f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得f（x），由周期公式可得；
（2）由x的范圍逐步可得f（x）的范圍，進而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得最值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，2]，
∴f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值為2，最小值為-2．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，涉及函數(shù)的周期的求解，屬于基礎題．